Cho x + y + z = 1. Chứng minh: x^2 + y^2 + z^2 ≥ 1/3

Câu 8: Cho x + y + z = 1. Chứng minh: $x^2+y^2+z^2\ge \frac{1}{3}$.

Trả lời

$x^2+y^2+z^2\ge \frac{1}{3}$

⇔ 3(x2 + y2 + z2) ≥ 1

⇔ 3(x2 + y2 + z2) ≥ (x+y+z)2

⇔ 3x2 + 3y2 + 3z2 − x2 − y2 − z2 − 2xy − 2yz − 2zx ≥ 0

⇔ 2x2 + 2y2 + 2z2 − 2xy − 2yz − 2zx ≥ 0

⇔ (x2 − 2xy + y2) + (y2 − 2yz + z2) + (z2 − 2zx + x2) ≥ 0

⇔ (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 ≥ 0 (luôn đúng)

Vậy $x^2+y^2+z^2\ge \frac{1}{3}$.