Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của

Đề bài: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của

$Q=\frac{x}{x+\sqrt{x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{z+xy}}$.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có: x + yz = x(x + y + z) + yz

= x² + yz + x(y + z) = A

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

A $\ge 2x\sqrt{yz}+x\left(y+z\right)\left(x^2+yz\ge 2\sqrt{x^{2}yz}\right)=x{\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}^2$ .

Hay $x+yz\ge x{\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}^2$ .

Tương tự ta có: $y+zx\ge y{\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)}^2$ ;

$z+xy\ge z{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}^2$.

Khi đó ta có:

$P\le \frac{x}{x+\sqrt{x{\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}^2}}+\frac{y}{y+\sqrt{y{\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)}^2}}+\frac{z}{z+\sqrt{z{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}^2}}$

$$\begin{gathered} =\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}+\sqrt{y}} \\ =\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1 \end{gathered}$$

Vậy P_max = 1 khi $x=y=z=\frac{1}{3}$ .