Cho x, y là các số dương thỏa mãn 4xy = x + y + 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đề bài: Cho x, y là các số dương thỏa mãn 4xy = x + y + 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x + y + 1/(x+y)

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có (x + y)² ≥ 4xy.

⇔ (x + y)² ≥ x + y + 2

⇔ (x + y)² – (x + y) – 2 ≥ 0

⇔ (x + y – 2)(x + y + 1) ≥ 0

y – 2 ≥ 0 (do x + y + 1 > 0, với mọi số dương x, y)

⇔ x + y ≥ 2.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có $\frac{x+y}{4}+\frac{1}{x+y}\ge 2\sqrt{\frac{x+y}{4}.\frac{1}{x+y}}=2.\sqrt{\frac{1}{4}}=1$ .

Ta có $x+y+\frac{1}{x+y}=\frac{3\left(x+y\right)}{4}+\frac{x+y}{4}+\frac{1}{x+y}\ge \frac{3.2}{4}+1=\frac{5}{2}$ .

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x+y+\frac{1}{x+y}$  bằng $\frac{5}{2}$  khi x = y = 1.