Cho ( x + căn bậc hai của x^2 + 1)( y + căn bậc hai của y^2 + 1) = 1. Tính x + y.

Trả lời

Lời giải

Ta có \(\left( {{\rm{x}} + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\left( {{\rm{x}} + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = \sqrt {{x^2} + 1} - x\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1 - {x^2}} \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = \sqrt {{x^2} + 1} - x\)

\( \Leftrightarrow y + \sqrt {{y^2} + 1} = \sqrt {{x^2} + 1} - x\)                          (1)

Ta có \(\left( {{\rm{x}} + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 1} - y} \right) = \sqrt {{y^2} + 1} - y\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\left( {{y^2} + 1 - {y^2}} \right) = \sqrt {{y^2} + 1} - y\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} - x = \sqrt {{y^2} + 1} - y\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{y^2} + 1} - y = \sqrt {{x^2} + 1} - x\)                                         (2)

Trừ vế theo vế của (1) cho (2) ta được

2y = 0

Û y = 0

Thay y = 0 vào (1) ta được \(1 = \sqrt {{x^2} + 1} - x\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} = x + 1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\{x^2} + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\{x^2} + 1 = {x^2} + 2x + 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\)

Do đó x + y = 0 + 0 = 0.

Vậy x + y = 0.