Cho x = \(1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}\). Chứng minh rằng P = x³ – 3x² – 3x + 3 là một số chính phương.

P = x³ – 3x² – 3x + 3 = (x – 1)³ – 6x + 4

P = \[{\left( {\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right)^3} - 6\left( {1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right) + 4\]

P = \[2 + 4 + 3\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{4}\left( {\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right) - 6\left( {\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right) - 6 + 4\]

P = \[6 + 3\sqrt[3]{8}\left( {\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right) - 6\left( {\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right) - 6 + 4\]

P = 4 = 2²

Vậy P là một số chính phương.