Cho tứ giác MNPQ gọi R, S, T, V theo tứ tự là trung điểm của MN, NP, PQ, QM.
a) Chứng minh rằng RSTV là hình bình hành.

b) Nếu MP vuông góc với NQ thì RQTV là hình gì?

Lời giải

• Xét ΔMNQ có: R, V lần lượt là trung điểm của MN, MQ

Do đó RV là đường trung bình của ΔMNQ

Suy ra RV // NQ và \(RV = \frac{1}{2}NQ\)              (1)

• Xét ΔNPQ có: T, S lần lượt là trung điểm của QP, NP

Do đó TS là đường trung bình của ΔNPQ

Suy ra TS // NQ và \(T{\rm{S}} = \frac{1}{2}NQ\)                        (2)

Từ (1) và (2) suy ra RV // TS và RV = TS

Do đó RSTV là hình bình hành.

b) Xét ΔMNP có: R, S lần lượt là trung điểm MN, NP

Suy ra RS là đường trung bình của ΔMNP

Do đó RS // MP

Mà MP ⊥ NQ, nên RS ⊥ NQ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Lại có ST // NQ

Suy ra RS ⊥ ST hay \(\widehat {RST} = 90^\circ \).

Xét hình bình hành RSTV có \(\widehat {RST} = 90^\circ \)

Suy ra RSTV là hình chữ nhật

Vậy nếu MP vuông góc với NQ thì RQTV là hình chữ nhật.