Cho tứ giác ABCD. Tìm M nằm trong ABCD sao cho tổng các khoảng cách
Đề bài: Cho tứ giác ABCD. Tìm M nằm trong ABCD sao cho tổng các khoảng cách từ M đến các đỉnh tứ giác nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD
+) Trường hợp 1: O ≡ M
Ta có MA + MB + MC + MD = OA + OB + OC + OD = AC +BD (1)
+) Trường hợp 2: O ≠ M
Xét tam giác AMC có AC ≤ AM + MC (bất đẳng thức trong tam giác)
Xét tam giác MBD có BD ≤ BM + MB (bất đẳng thức trong tam giác)
Suy ra MA + MB + MC + MD ≥ AC + BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra MA + MB + MC + MD ≥ AC + BD
Dấu “ = ” xảy ra khi O ≡ M
Vậy tổng các khoảng cách từ M đến các đỉnh tứ giác nhỏ nhất khi M là giao điểm của AC và BD.