Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DA, BC

Đề bài: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DA, BC. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD biết AB = CD = 2a; $MN=a\sqrt{3}$ .

A. 30°;

B. 45°;

C. 60°;

D. 90°

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}\right)+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}\right)+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}\right)+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)$ (M, N lần lượt là trung điểm của DA, BC).

$=\frac{1}{2}.\overrightarrow{0}+\frac{1}{2}.\overrightarrow{0}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)$.

Suy ra $M{N}^2=\frac{1}{4}\left(A{B}^2+D{C}^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DC}\right)$

$\iff 3a^2=\frac{1}{4}\left(4a^2+4a^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DC}\right)$

$\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DC}=2a^2$.

Ta có $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}\right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DC}}{AB.DC}=\frac{2a^2}{2a.2a}=\frac{1}{2}$ .

Suy ra $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}\right)=60°$ .

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 60°.

Do đó ta chọn phương án C.