Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC

Đề bài: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.

a) Chứng minh $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)$ .

b) Xác định điểm O sao cho $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$ .

Trả lời

Hướng dẫn giải:

a) Ta có $VT=\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}\right)+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}\right)+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}\right)+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)$ (M, N lần lượt là trung điểm của DA, BC).

$=\frac{1}{2}.\overrightarrow{0}+\frac{1}{2}.\overrightarrow{0}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)=VP$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}$

$=2\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}=2\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}\right)=4\overrightarrow{OI}$, với I là trung điểm MN.

Khi đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{OI}=\overrightarrow{0}$ .

Tức là, O ≡ I.

Vậy O ≡ I thỏa mãn yêu cầu bài toán.