Lời giải
Xét tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó MN // AC và \(MN = \frac{1}{2}AC\) (1)
Xét tam giác ADC có P, Q lần lượt là trung điểm của CD, AD.
Suy ra PQ là đường trung bình của tam giác ADC.
Do đó PQ // AC và \(PQ = \frac{1}{2}AC\) (2)
Từ (1), (2), suy ra PQ // MN và PQ = MN.
Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Mà O là giao điểm các đường chéo của hình bình hành MNPQ.
Suy ra O là trung điểm của MP.
Do đó \(\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OP} = \vec 0\).
Ta có M, P lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Suy ra \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OM} \] và \[\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OP} \].
Khi đó \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OM} + 2\overrightarrow {ON} = 2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right) = 2.\vec 0 = \vec 0\).
Ta có \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} \)
\( = \left( {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OA} } \right) + \left( {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OD} } \right)\)
\( = 4\overrightarrow {GO} + \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right) = 4\overrightarrow {GO} + \vec 0 = 4\overrightarrow {GO} \).
Mà G là trọng tâm của tam giác BCD.
Suy ra \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0\).
Khi đó ta có \(\overrightarrow {GA} + \vec 0 = 4\overrightarrow {GO} \).
Vì vậy \(\overrightarrow {GA} = 4\overrightarrow {GO} \).
Suy ra hai vectơ \(\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GO} \) cùng hướng và GA = 4GO.
Vậy ba điểm A, O, G thẳng hàng.