Cho tứ giác ABCD có góc \(\widehat B = \widehat D = 90^\circ \).

a. Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn, tìm tâm đường tròn đó.

b. So sánh độ dài AC và BD. Tứ giác ABCD cần thêm điều kiện gì thì AC = BD?

Lời giải:

a. Gọi I là trung điểm của AC (IA = IC).

+) Xét tam giác vuông BAC \(\left( {\widehat B = 90^\circ } \right)\)

BI là đường tuyến

\( \Rightarrow BI = \frac{1}{2}AC \Rightarrow BI = IA = IC\left( 1 \right)\)

+) Xét tam giác vuông DAC \(\left( {\widehat D = 90^\circ } \right)\)

DI là đường trung tuyến \( \Rightarrow DI = \frac{1}{2}AC \Rightarrow DI = IA = IC\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ⇒ IA = IB = IC = ID

Vậy 4 điểm A , B , C , D cùng thuộc đường tròn tâm I với I là trung điểm của AC.

b. Nối B với D

Xét ∆BDI: Ta có: BI + ID > BD (BĐT tam giác)

Mà BI + ID = AC (do AC là đường kính đường tròn tâm I đi qua B và D)

Vậy AC > BD.

Để AC = BD thì IB + ID = BD, khi đó I phải là trung điểm của BD.

Vậy tứ giác ABCD phải là hình chữ nhật.