Cho tứ giác ABCD có độ dài 4 cạnh là a, b, c, d, diện tích là S. Chứng minh
Cho tứ giác ABCD có độ dài 4 cạnh là a, b, c, d, diện tích là S.
Chứng minh S ≤ \[\frac{{{a^2} + \,{b^2} + {c^2} + {d^2}}}{4}\].
Vẽ AH ⊥ CD.
Ta có: SACD = \(\frac{1}{2}ah\, \le \frac{1}{2}ab\)
Suy ra: 4 SACD ≤ 2ab ≤ a2 + b2 (Theo bất đẳng thức Côsi) (1)
Tương tự: 4 SABC ≤ 2cd ≤ c2 + d2 (2)
Lấy (1) + (2) theo vế ta có:
4 (SACD + SABC) ≤ a2 + b2 + c2 + d2
Hay SABCD ≤ \[\frac{{{a^2} + \,{b^2} + {c^2} + {d^2}}}{4}\].
Dấu “=” xảy ra khi ABCD là hình vuông.