Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và góc AOB = 90o; góc BOC = 60o; góc COA = 120o. Tính theo a thể tích khối tứ diện OABC

Bài 7.36 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và AOB^=90°BOC^=60°COA^=120°. Tính theo a thể tích khối tứ diện OABC.

Trả lời

Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và góc AOB = 90 độ

Xét tam giác OAB vuông tại O, có AB = OA2+OB2=a2+a2=a2.

Xét tam giác BOC có OB = OC và BOC^=60° nên tam giác BOC là tam giác đều.

Do đó BC = a.

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác OAC có:

AC2=OA2+OC2-2.OA.OC.cosAOC^

= a2+a2+2.a2.12 = 3a2 AC2=3a2AC=a3

Có AB2+BC2=2a2+a2=3a2. Do đó AC2 = AB+ BC2.

Vì AC2 = AB+ BC2 nên tam giác ABC vuông tại B.

Do đó SABC=ABBC2=a2a2=a222.

Kẻ OH  (ABC) tại H.

Vì OA = OB = OC nên HA = HB = HC.

Khi đó, H là trung điểm của AC nên AH = a32.

Xét tam giác OAH vuông tại H, có OH = OA2AH2=a23a24=a2.

Vậy VOABC=13SABCOH=13a222a2=a3212.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả