Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, biết SO vuông góc với (ABCD), AC = 2a căn 3
623
20/11/2023
Bài 7.37 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, biết SO ⊥ (ABCD), AC = 2a√3, BD = 2a và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng a√32. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
Trả lời
![Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, biết SO vuông góc (ABCD)](https://vietjack.com/sbt-toan-11-kn/images/bai-7-37-trang-41-sbt-toan-lop-11-tap-2.PNG)
Kẻ OM ⊥ BC tại M mà BC ⊥ SO (do SO ⊥ (ABCD)) nên BC ⊥ (SOM).
Kẻ OH ⊥ SM tại H mà OH ⊥ BC (do BC ⊥ (SOM)) nên OH ⊥ (SBC).
Suy ra d(O, (SBC)) = OH.
Do ABCD là hình thoi tâm O nên O là trung điểm của AC, do đó
d(A, (SBC)) = 2 . d(O, (SBC)) = 2 . OH = a√32.
Suy ra OH = a√34.
Vì ABCD là hình thoi tâm O nên O là trung điểm của AC, BD nên OB = BD2 = a;
OC = AC2 = a√3.
Do ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD.
Xét tam giác OBC vuông tại O, OM là đường cao: ta có 1OM2=1OB2+1OC2
=1a2+13a2=43a2⇒OM=a√32.
Vì SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ OM.
Xét tam giác SOM vuông tại O, OH là đường cao, ta có 1OH2=1SO2+1OM2
⇔163a2=1SO2+43a2⇔1SO2=163a2−43a2=4a2⇒SO=a2.
Vậy VS.ABCD=13⋅SABCD⋅SO=13⋅12.AC.BD.SO = 13⋅12⋅2a√3⋅2a⋅a2=a3√33.
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: