Cho tứ diện ABCD. Lấy G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB

Bài 3 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Lấy G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.

a) Chứng minh rằng (G1G2G3) // (BCD).

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (G1G2G3) với mặt phẳng (ABD).

Trả lời

a)

Bài 3 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB.

Trong mp(ABC), xét ABC có G1 là trọng tâm của tam giác nên AG1AM=23 ;

Trong mp(ACD), xét ACD có G2 là trọng tâm của tam giác nên AG2AN=23 ;

Trong mp(ABD), xét ABD có G3 là trọng tâm của tam giác nên AG3AP=23 .

Trong mp(AMP), xét AMP có AG1AM=AG3AP=23  nên G1G3­ // MP (theo định lí Thalès đảo).

Mà MP ⊂ (BCD) nên G1G3­ // (BCD).

Chứng minh tương tự ta cũng có AG2AN=AG3AP=23  nên G2G3 // NP (theo định lí Thalès đảo).

Mà NP ⊂ (BCD) nên G2G3­ // (BCD).

Ta có: G1G3­ // (BCD);

           G2G3­ // (BCD);

           G1G3, G2G3 cắt nhau tại G3 và cùng nằm trong mp(G1G2G3).

Do đó (G1G2G3) // (BCD).

b)

Bài 3 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Ta có: B, D cùng thuộc hai mặt phẳng (ABD) và (BCD) nên (ABD) ∩ (BCD) = BD.

Giả sử (ABD) ∩ (G1G2G3) = d.

Ta có: (G1G2G3) // (BCD);

           (ABD) ∩ (BCD) = BD;

           (ABD) ∩ (G1G2G3) = d.

Suy ra d // BD.

Mà G3 ∈ (ABD) và G3 ∈ (G1G2G3) nên G là giao điểm của (G1G2G3) và (ABD).

Do đó giao tuyến d của hai mặt phẳng (G1G2G3) và (ABD) đi qua điểm G3 và song song với BD, cắt AB, AD lần lượt tại I và K.

Vậy (G1G2G3) ∩ (ABD) = IK.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp

Bài 6: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Bài tập cuối chương 4

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả