Cho tứ diện ABCD. Lấy G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB
2.4k
14/08/2023
Bài 3 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Lấy G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.
a) Chứng minh rằng (G1G2G3) // (BCD).
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (G1G2G3) với mặt phẳng (ABD).
Trả lời
a)
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB.
Trong mp(ABC), xét ABC có G1 là trọng tâm của tam giác nên ;
Trong mp(ACD), xét ACD có G2 là trọng tâm của tam giác nên ;
Trong mp(ABD), xét ABD có G3 là trọng tâm của tam giác nên .
Trong mp(AMP), xét AMP có nên G1G3 // MP (theo định lí Thalès đảo).
Mà MP ⊂ (BCD) nên G1G3 // (BCD).
Chứng minh tương tự ta cũng có nên G2G3 // NP (theo định lí Thalès đảo).
Mà NP ⊂ (BCD) nên G2G3 // (BCD).
Ta có: G1G3 // (BCD);
G2G3 // (BCD);
G1G3, G2G3 cắt nhau tại G3 và cùng nằm trong mp(G1G2G3).
Do đó (G1G2G3) // (BCD).
b)
Ta có: B, D cùng thuộc hai mặt phẳng (ABD) và (BCD) nên (ABD) ∩ (BCD) = BD.
Giả sử (ABD) ∩ (G1G2G3) = d.
Ta có: (G1G2G3) // (BCD);
(ABD) ∩ (BCD) = BD;
(ABD) ∩ (G1G2G3) = d.
Suy ra d // BD.
Mà G3 ∈ (ABD) và G3 ∈ (G1G2G3) nên G3 là giao điểm của (G1G2G3) và (ABD).
Do đó giao tuyến d của hai mặt phẳng (G1G2G3) và (ABD) đi qua điểm G3 và song song với BD, cắt AB, AD lần lượt tại I và K.
Vậy (G1G2G3) ∩ (ABD) = IK.
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian
Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song
Bài 4: Hai mặt phẳng song song
Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp
Bài 6: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian
Bài tập cuối chương 4