Giải Toán 11 Bài 6: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian
Vì các tia nắng được coi là song song với nhau nên bóng nắng của một vật gợi nên hình ảnh của vật đó qua phép chiếu song song trên mặt đất.
Thế nào là phép chiếu song song? Phép chiếu song song có tính chất gì?
Lời giải:
Để trả lời được câu hỏi trên chúng ta sẽ tìm hiểu bài học này.
Sau bài học này, chúng ta sẽ trả lời được câu hỏi trên như sau:
Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng ℓ cắt mặt phẳng (P). Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với điểm M’ của mặt phẳng (P) sao cho MM’ song song hoặc trùng với ℓ gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương ℓ.
Tính chất của phép chiếu song song:
• Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
• Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng; biến tia thành tia; biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
• Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
• Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
I. Phép chiếu song song
Lời giải:
Qua mỗi điểm M trong không gian, có duy nhất một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ℓ. Đường thẳng đó và mặt phẳng (P) có 1 điểm chung.
Lời giải:
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên AA’ // CC’ nên ACC’A’ là hình thang.
Do O’ là giao điểm của A’C’ và B’D’ nên O’ là trung điểm của A’C’.
Gọi O là giao điểm của AC và BD, khi đó O là trung điểm của AC.
Do đó OO’ là đường trung bình của hình thang ACC’A’
Suy ra OO’ // AA’.
Vậy điểm O là ảnh của O’ qua phép chiếu song song lên mp(ABCD) theo phương AA’.
Quan Hình 78 và cho biết:
a) Các điểm A’, B’, C’ có thẳng hàng hay không. Nếu có, điểm B’ có nằm giữa hai điểm A’ và C’ hay không;
b) Bóng nắng của thanh lan can là hình gì.
Lời giải:
a) Quan sát Hình 78, ta thấy các điểm A’, B’, C’ thẳng hàng và điểm B’ nằm giữa hai điểm A’, C’.
b) Bóng nắng của thanh lan can là đường thẳng.
Quan sát Hình 79 và cho biết bóng của các đường thẳng song song đó có là các đường thẳng song song hay không.
Lời giải:
Quan sát Hình 79, ta thấy bóng của các đường thẳng song song là các đường thẳng song song.
Lời giải:
Gọi A’, B’, B’, D’ lần lượt là hình chiếu song song của bốn điểm A, B, C, D trên mặt phẳng (P) theo phương ℓ.
Hình chiếu của hình bình hành ABCD trên mặt phẳng (P) là tứ giác A’B’C’D’.
Do ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AD = BC.
Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương ℓ thì A’B’ = AB, B’C’ = BC, C’D’ = CD, A’D’ = AD.
Do đó A’B’ = C’D’ và A’D’ = B’C’ nên A’B’C’D’ là hình bình hành.
Vậy hình chiếu song song của hình bình hành ABCD trên mặt phẳng (P) là hình bình hành A’B’C’D’.
II. Hình biểu diễn của một hình không gian
Lời giải:
Trường hợp 1: Đặt rubik sao cho các cạnh bên của rubik song song hoặc trùng với đường thẳng ℓ.
Khi đó hình chiếu của rubik trên mp(P) là hình thoi.
Trường hợp 2: Đặt rubik sao cho các cạnh bên của rubik không song song hoặc trùng với đường thẳng ℓ.
Khi đó hình chiếu của rubik trên mp(P) là hình lục giác.
Bài tập
Lời giải:
Các Hình 88a, 88b, 88c đều là hình biểu diễn cho hình tứ diện.
Lời giải:
• Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (ABCD) theo phương A’B thì điểm B là hình chiếu của điểm A’.
• Ta có (ABB’A’) // (CDD’C’);
(ABB’A’) ∩ (A’BCD’) = A’B;
(CDD’C’) ∩ (A’BCD’) = D’C.
Do đó A’B // D’C.
Khi đó qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (ABCD) theo phương A’B thì điểm C là hình chiếu của điểm D’.
• Trong mp(CDD’C’), qua điểm C’ vẽ đường thẳng song song với D’C, cắt DC tại E.
Khi đó qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (ABCD) theo phương A’B thì điểm E là hình chiếu của điểm C’.
Vậy ảnh của tam giác A’C’D’ qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (ABCD) theo phương A’B là tam giác BEC.
Bài 3 trang 119 Toán 11 Tập 1: Vẽ hình biểu diễn của các vật trong Hình 89 và Hình 90.
Lời giải:
Hình biểu diễn khối gỗ trong Hình 89:
Hình biểu diễn viên gạch trong Hình 90:
Bài 4 trang 119 Toán 11 Tập 1: Vẽ hình biểu diễn của:
a) Một tam giác vuông nội tiếp trong một đường tròn;
b) Một lục giác đều.
Lời giải:
a) Hình biểu diễn tam giác vuông nội tiếp đường tròn: Hình a).
Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) nên có một góc vuông, cạnh đối diện với góc vuông là đường kính của đường tròn.
b) Hình biểu diễn lục giác đều: Hình b).
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian
Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song
Bài 4: Hai mặt phẳng song song
