Giải Toán 11 Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp
Hình lăng trụ và hình hộp là hình như thế nào?
Lời giải:
Sau bài học này, chúng ta giải quyết được câu hỏi trên như sau:
Hình gồm hai đa giác A1A2…An, A1’A2’…An’ và các bình bình hành A1A2A2’A1’, A2A3A3’A2’, …, AnA1A1’An’ được gọi là hình lăng trụ, kí hiệu là A1A2…An.A1’A2’…An’.
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
I. Hình lăng trụ
a) Các tứ giác A1A2A2’A1’, A2A3A3’A2’, …, AnA1A1’An’ là những hình gì?
b) Các cạnh tương ứng của hai đa giác A1A2…An và A1’A2’…An’ có đặc điểm gì?
Lời giải:
a) Ta có: (P) // (P’);
(A1A2A2’A1’) ∩ (P) = A1A2;
(A1A2A2’A1’) ∩ (P’) = A1’A2’.
Do đó A1A2 // A1’A2’.
Trong mp (A1A2A2’A1’), tứ giác A1A2A2’A1’ có A1A1’ // A2A2’ và A1A2 // A1’A2’
Do đó A1A2A2’A1’ là hình bình hành.
Chứng minh tương tự ta có: các tứ giác A2A3A3’A2’, …, AnA1A1’An’ cũng là những hình bình hành.
Vậy các tứ giác A1A2A2’A1’, A2A3A3’A2’, …, AnA1A1’An’ là những hình bình hành.
b) Theo câu a, A1A2A2’A1’ là hình bình hành nên A1A2 = A1’A2’
Tương tự như vậy, ta kết luận các cạnh tương ứng của hai đa giác A1A2…An và A1’A2’…An’ có độ dài bằng nhau.
Lời giải:
Từ định nghĩa hình lăng trụ, ta có các nhận xét sau:
• Các cạnh bên của hình lăng trụ song song và bằng nhau.
• Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
• Hai mặt đáy của hình lăng trụ là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.
Lời giải:
Gợi ý một số ví dụ về những đồ dùng, vật thể trong thực tế có dạng hình lăng trụ:
II. Hình hộp
Hoạt động 3 trang 111 Toán 11 Tập 1: Vẽ hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình bình hành.
Lời giải:
Hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình bình hành:
Lời giải:
Nối AC’, BD’, CA’, DB’.
Các đường chéo của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là các đoạn thẳng AC’, BD’, CA’, DB’.
Lời giải:
Nhận xét: Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai mặt đối diện của hình hộp song song với nhau.
Lời giải:
Trong mặt phẳng (ABC’D’), xét tứ giác ABC’D’ có:
AB // C’D’ (cùng song song với DC);
AB = C’D’ (cùng bằng DC)
Do đó tứ giác ABC’D’ là hình bình hành.
Suy ra hai đường chéo AC’ và BD’ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.
Khi đó (ABC’D’) đi qua điểm O.
Tương tự ta cũng có tứ giác BCD’A’ là hình bình hành có hai đường chéo BD’ và CA’ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà O là trung điểm của BD’, do đó O là trung điểm của CA’ và (BCD’A’) đi qua O.
Chứng minh tương tự với các mp(CDA’B’), (DAB’C’) thì các mặt phẳng này cũng đi qua điểm O.
Vậy bốn mặt phẳng (ABC’D’), (BCD’A’), (CDA’B’), (DAB’C’) cùng đi qua điểm, điểm O là giao điểm các đường chéo của hình hộp.
Bài tập
Bài 1 trang 113 Toán 11 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C D’.
a) Chứng minh rằng (ACB’) // (A’C’D).
b) Gọi G1, G2 lần lượt là giao điểm của BD’ với các mặt phẳng (ACB’) và (A’C’D). Chứng minh rằng G1, G2 lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ACB’ và A’C’D.
c) Chứng minh rằng BG1 = G1G2 = D’G2.
Lời giải:
a)
Ta có: (ABCD) // (A’B’C’D’) ( do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp);
(ABCD) ∩ (ACC’A’) = AC;
(A’B’C’D’) ∩ (ACC’A’) = A’C’.
Do đó AC // A’C’.
Mà A’C’ ⊂ (A’C’D) nên AC // (A’C’D).
Chứng minh tương tự ta cũng có AB’ // DC’ mà DC’ ⊂ (A’C’D) nên AB’ // (A’C’D).
Ta có: AC // (A’C’D);
AB’ // (A’C’D);
AC, AB’ cắt nhau tại điểm A và cùng nằm trong mp(ACB’).
Do đó (ACB’) // (A’C’D).
b)
• Gọi O là tâm hình bình hành đáy ABCD, I là giao điểm của BD’ và DB’.
Tứ giác BDD’B’ có BB’ // DD’ và BB’ = DD’ nên là hình bình hành.
Do đó hai đường chéo BD’ và DB’ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.
Trong mp(BDD’B’), BD’ cắt B’O tại G1.
Mà B’O ⊂ (ACB’) nên G1 là giao điểm của BD’ với (ACB’).
Trong mp(BDD’B’), xét BDB’ có hai đường trung tuyến BI, B’O cắt nhau tại G1 nên G1 là trọng tâm của DBDB’
Do đó
Trong (ACB’), xét ACB’ có B’O là đường trung tuyến và
Suy ra G1 là trọng tâm của ACB’.
• Gọi O’ là tâm hình bình hành đáy A’B’C’D’.
Chứng minh tương tự như trên ta cũng có: G2 là trọng tâm của DD’B’ nên
Trong (A’C’D), A’C’D có DO’ là đường trung tuyến và
Suy ra G2 là trọng tâm của A’C’D.
c) Theo chứng minh câu b, ta có:
• G1 là trọng tâm của BDB’ nên và
• G2 là trọng tâm của DD’B’ nên và
Do đó và
Ta có: và BI = D’I (do I là trung điểm của BD’)
Suy ra BG1 = D’G2.
Lại có nên IG1 = IG2 = BG1
Do đó G1G2 = IG1 + IG2 = BG1 + BG1 = BG1.
Vậy BG1 = G1G2 = D’G2.
a) NQ // A’D’ và NQ = A’D’;
b) Tứ giác MNQC là hình bình hành;
c) MN // (ACD’);
d) (MNP) // (ACD’).
Lời giải:
a)
Trong mp(ADD’A’), xét DAA’D’ có N, Q lần lượt là trung điểm của AA’ và AD’
Do đó NQ là đường trung bình của tam giác
Suy ra NQ // A’D’ và NQ = A’D’.
b)
Ta có: A’D’ // AD // BC, mà NQ // A’D’ (câu a) nên NQ // BC hay NQ // MC.
Ta cũng có A’D’ = AD = BC, mà NQ = A’D’ (câu a) nên NQ = BC
Lại có BM = MC = BC (do M là trung điểm BC)
Do đó NQ = MC.
Tứ giác MNQC có NQ // MC và NQ = MC nên là MNQC hình bình hành.
c)
Do MNQC hình bình hành nên MN // QC
Mà QC ⊂ (ACD’) nên MN // (ACD’).
d)
Gọi O là trung điểm của ABCD.
Trong (ABCD), xét DABC có O, M lần lượt là trung điểm của AC, BC nên OM là đường trung bình của tam giác
Do đó OM // AB và OM = AB.
Mà AB // D’P nên OM // D’P.
Lại có D’P = D’C’ và D’C’ = AB nên OM = D’P.
Xét tứ giác D’PMO có OM // D’P và OM = D’P nên là hình bình hành
Suy ra PM // D’O
Mà D’O ⊂ (ACD’) nên PM // (ACD’).
Ta có: MN // (ACD’);
PM // (ACD’);
MN, PM cắt nhau tại điểm M và cùng nằm trong mp(MNP)
Do đó (MNP) // (ACD’).
a) Chứng minh rằng EF // (BCC’B’).
b) Gọi I là giao điểm của đường thẳng CF với mặt phẳng (AC’B). Chứng minh rằng I là trung điểm đoạn thẳng CF.
Lời giải:
a)
Gọi M là trung điểm của BC.
Trong mp(ABC), xét ABC có E, M lần lượt là trung điểm của AC, BC nên EM là đường trung bình của tam giác
Do đó EM // AB và EM = AB.
Mà AB // A’B’ nên EM // A’B’ hay EM // FB’.
Lại có AB = A’B’ và FB’ = A’B’ nên EM = FB’.
Trong mp(EMB’F), xét tứ giác EMB’F có EM // FB’ và EM = FB’ nên là hình bình hành.
Do đó EF // B’M, mà B’M ⊂ (BCC’B’) nên EF // (BCC’B’).
b)
Gọi N là trung điểm của AB.
Trong mp(ABB’A’), xét hình bình hành ABB’A’ cũng là hình thang có N, F lần lượt là trung điểm của AB, A’B’ nên NF là đường trung bình của hình thang
Do đó NF // BB’ và .
Mà BB’ // CC’ nên NF // CC’.
Lại có BB’ = CC’ nên NF = CC’.
Trong mp(NFC’C), xét tứ giác NFC’C có NF // CC’ và NF = CC’ nên là hình bình hành.
Do đó hai đường chéo CF và NC’ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Lại có NC’ ⊂ (ABC’) nên CF cắt (ABC’) tại trung điểm I của CF.
Vậy CF cắt (ABC’) tại trung điểm I của CF.
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian
Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song
Bài 4: Hai mặt phẳng song song
Bài 6: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian