Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi O là giao điểm của các đường chéo của hình hộp. Mặt phẳng

Bài 4.38 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi O là giao điểm của các đường chéo của hình hộp. Mặt phẳng qua O và song song với mặt phẳng (ABCD) cắt các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’ lần lượt tại M, N, P, Q.

a) Chứng minh rằng M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’.

b) Chứng minh rằng ABCD.MNPQ là hình hộp.

Trả lời

a) Áp dụng định lí Thalès cho ba mặt phẳng (ABCD), (MNPQ), (A’B’C’D’) và hai cát tuyến AA’, DB’ ta có: $\frac{AM}{M{A}^{\prime }}=\frac{DO}{O{B}^{\prime }}$

Vì O là trung điểm của DB’ nên M là trung điểm của AA’.

Chứng minh tương tự ta có: N, P, Q lần lượt là trung điểm của BB’, CC’, DD’.

b) Vì M, N lần lượt là trung điểm của AA’, BB’ nên MN//AB, $MN=AB$

Tương tự ta có: PQ//CD và $PQ=CD$

Vì $AB=CD$ và AB//CD nên $MN=PQ$ và MN//PQ.

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Vì các đường thẳng AM, BN, CP, DQ đôi một song song nên suy ra ABCD.MNPQ là hình hộp.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 11: Hai đường thẳng song song

Bài 12: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 13: Hai mặt phẳng song song

Bài 14: Phép chiếu song song

Bài tập cuối chương 4

Bài 15: Giới hạn của dãy số