Câu hỏi:

03/04/2024 42

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{A D} + \vec{B C} = 2 \vec{M N}$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{A D} + \vec{B C}$

$\Leftrightarrow \vec{A C} - \vec{A D} = \vec{B C} - \vec{B D}$

$\Leftrightarrow \vec{D C} = \vec{D C}$ (đẳng thức này đúng).

Do M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD

nên $\{\begin{cases} \vec{A M} + \vec{B M} = 0 \\ \vec{N C} + \vec{N D} = 0 \end{cases}$

Do đó $\vec{A D} + \vec{B C} = (\vec{A M} + \vec{M N} + \vec{N B}) + (\vec{B M} + \vec{M N} + \vec{N D})$

$= (\vec{A M} + \vec{B M}) + (\vec{N B} + \vec{N D}) + 2 \vec{M N} = 2 \vec{M N}$

Vậy $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{A D} + \vec{B C} = 2 \vec{M N}$

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho 2 điểm phân biệt A, B và một điểm O bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem đáp án » 03/04/2024 90

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A', B', C' lần lượt thuộc các tia SA, Sb, SC sao cho $S A = a . S A^{'}, S B = b . S B^{'}, S C = c . S C^{'}$ , trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A'B'C' đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $a + b + c = 3$ .

Xem đáp án » 03/04/2024 72

Câu 3:

Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho $\vec{M A} = - 2 \vec{M B}, \vec{N D} = - 2 \vec{N C}$ ; các điểm I, J, K lần lượt thuộc $A D, M N, B C$ sao cho $\vec{I A} = k . \vec{I D}, \vec{J M} = k . \vec{J N}, \vec{K B} = k . \vec{K C}$ . Chứng minh rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.

Xem đáp án » 03/04/2024 70

Câu 4:

Cho tứ diện S.ABC có $S A = S B = S C = A B = A C = a, B C = a \sqrt{2}$ . Tích vô hướng giữa $\vec{S C} . \vec{A B}$ bằng

Xem đáp án » 03/04/2024 67

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, M là điểm thay đổi trên SO. Tỉ số $\frac{S M}{S O}$ sao cho biểu thức $P = M S^{2} + M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2}$ nhỏ nhất bằng

Xem đáp án » 03/04/2024 66

Câu 6:

b) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì ${\vec{S A}}^{2} + {\vec{S C}}^{2} = {\vec{S B}}^{2} + {\vec{S D}}^{2}$

Xem đáp án » 03/04/2024 56

Câu 7:

Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD và AC sao cho $B C = 4 B M, A C = 3 A P, B D = 2 B N$ . Mặt phẳng (MNP) cắt đường thẳng AD tại điểm Q. Tính tỉ số $\frac{A Q}{A D}$ .

Xem đáp án » 03/04/2024 56

Câu 8:

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có $\vec{A A^{'}} = \vec{a}, \vec{A B} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c}$ . Hãy phân tích các vectơ $\vec{B^{'} C}, \vec{B C^{'}}$ qua các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ .

Xem đáp án » 03/04/2024 55

Câu 9:

Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Cho $A B = 2 a, C D = 2 b, E F = 2 c$ . Với M là một điểm tùy ý, tổng $M A^{2} + M B^{2}$ bằng

Xem đáp án » 03/04/2024 55

Câu 10:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các điểm trên các cạnh AD và BC sao cho $A M = 2 M D, B C = 3 N C$ . Chứng minh ba vectơ $\vec{A B}, \vec{C D}, \vec{M N}$ đồng phẳng.

Xem đáp án » 03/04/2024 54

Câu 11:

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Xét hai mệnh đề

(I). Nếu ABCD là hình bình hành thì $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = 4 \vec{S O}$ .

(II). Nếu $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = 4 \vec{S O}$ thì ABCD là hình bình hành.

Mệnh đề nào đúng?

Xem đáp án » 03/04/2024 50

Câu 12:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

a) Chứng minh $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$

Xem đáp án » 03/04/2024 49

Câu 13:

Cho hình chóp S.ABC có $\vec{S A} = \vec{a}, \vec{S B} = \vec{b}, \vec{S C} = \vec{c}$ và các điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, SC. Các điểm P, Q trên các đường thẳng SA, BN sao cho $P Q / / C M$ . Biểu diễn vectơ $\vec{P Q}$ theo ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ được kết quả

Xem đáp án » 03/04/2024 49

Câu 14:

Cho $|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 5$ , góc giữa $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng 120⁰. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

Xem đáp án » 03/04/2024 48

Câu 15:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Biết $\vec{M A^{'}} = k . \vec{M C}, \vec{N C^{'}} = l . \vec{N D}$ . Khi MN song song với BD' thì khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án » 03/04/2024 48

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 11 có đáp án (Mới nhất)

24 đề 1245 lượt thi Thi thử
Bộ 20 đề thi giữa học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án

17 đề 872 lượt thi Thi thử
Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án

19 đề 808 lượt thi Thi thử
299 bài trắc nghiệm Tổ hợp xác suất từ đề thi đại học có lời giải chi tiết

10 đề 680 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Đạo hàm nâng cao

5 đề 567 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Tổ hợp - Xác suất cơ bản

6 đề 543 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác có đáp án

8 đề 459 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Đạo hàm cơ bản

5 đề 433 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra học kì 1 Chuyên đề toán 11: Kiểm tra 15 phút có đáp án

10 đề 430 lượt thi Thi thử
Đề thi Toán 11 Học kì 2 có đáp án

7 đề 405 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

Câu hỏi:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AC→+BD→=AD→+BC→=2MN→

Trả lời:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho 2 điểm phân biệt A, B và một điểm O bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A', B', C' lần lượt thuộc các tia SA, Sb, SC sao cho SA=a.SA',SB=b.SB',SC=c.SC' , trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A'B'C' đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a+b+c=3 .

Câu 3:

Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho MA→=−2MB→,ND→=−2NC→ ; các điểm I, J, K lần lượt thuộc AD,MN,BC sao cho IA→=k.ID→,JM→=k.JN→,KB→=k.KC→ . Chứng minh rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.

Câu 4:

Cho tứ diện S.ABC có SA=SB=SC=AB=AC=a,BC=a2 . Tích vô hướng giữa SC→.AB→ bằng

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, M là điểm thay đổi trên SO. Tỉ số SMSO sao cho biểu thức P=MS2+MA2+MB2+MC2+MD2 nhỏ nhất bằng

Câu 6:

b) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì SA→2+SC→2=SB→2+SD→2

Câu 7:

Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD và AC sao cho BC=4BM,AC=3AP,BD=2BN . Mặt phẳng (MNP) cắt đường thẳng AD tại điểm Q. Tính tỉ số AQAD .

Câu 8:

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AA'→=a→,AB→=b→,AC→=c→ . Hãy phân tích các vectơ B'C→,BC'→ qua các vectơ a→,b→,c→.

Câu 9:

Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Cho AB=2a,CD=2b,EF=2c. Với M là một điểm tùy ý, tổng MA2+MB2 bằng

Câu 10:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các điểm trên các cạnh AD và BC sao cho AM=2MD,BC=3NC . Chứng minh ba vectơ AB→,CD→,MN→ đồng phẳng.

Câu 11:

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Xét hai mệnh đề (I). Nếu ABCD là hình bình hành thì SA→+SB→+SC→+SD→=4SO→ . (II). Nếu SA→+SB→+SC→+SD→=4SO→ thì ABCD là hình bình hành. Mệnh đề nào đúng?

Câu 12:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. a) Chứng minh SA→+SC→=SB→+SD→

Câu 13:

Cho hình chóp S.ABC có SA→=a→,SB→=b→,SC→=c→ và các điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, SC. Các điểm P, Q trên các đường thẳng SA, BN sao cho PQ//CM . Biểu diễn vectơ PQ→ theo ba vectơ a→,b→,c→ được kết quả

Câu 14:

Cho a→=3,b→=5 , góc giữa a→ và b→ bằng 1200. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

Câu 15:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Biết MA'→=k.MC→,NC'→=l.ND→ . Khi MN song song với BD' thì khẳng định nào sau đây đúng?

Đề thi liên quan

Câu hỏi mới nhất

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{A D} + \vec{B C} = 2 \vec{M N}$

Cho tứ diện S.ABC có $S A = S B = S C = A B = A C = a, B C = a \sqrt{2}$ . Tích vô hướng giữa $\vec{S C} . \vec{A B}$ bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, M là điểm thay đổi trên SO. Tỉ số $\frac{S M}{S O}$ sao cho biểu thức $P = M S^{2} + M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2}$ nhỏ nhất bằng

b) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì ${\vec{S A}}^{2} + {\vec{S C}}^{2} = {\vec{S B}}^{2} + {\vec{S D}}^{2}$

Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD và AC sao cho $B C = 4 B M, A C = 3 A P, B D = 2 B N$ . Mặt phẳng (MNP) cắt đường thẳng AD tại điểm Q. Tính tỉ số $\frac{A Q}{A D}$ .

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có $\vec{A A^{'}} = \vec{a}, \vec{A B} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c}$ . Hãy phân tích các vectơ $\vec{B^{'} C}, \vec{B C^{'}}$ qua các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ .

Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Cho $A B = 2 a, C D = 2 b, E F = 2 c$ . Với M là một điểm tùy ý, tổng $M A^{2} + M B^{2}$ bằng

Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các điểm trên các cạnh AD và BC sao cho $A M = 2 M D, B C = 3 N C$ . Chứng minh ba vectơ $\vec{A B}, \vec{C D}, \vec{M N}$ đồng phẳng.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

a) Chứng minh $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$

Cho $|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 5$ , góc giữa $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng 120⁰. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Biết $\vec{M A^{'}} = k . \vec{M C}, \vec{N C^{'}} = l . \vec{N D}$ . Khi MN song song với BD' thì khẳng định nào sau đây đúng?