Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Biết tam giác BCD

Trả lời

Gọi F là trung điểm của BC.

Xét  $\Delta ABC$ có E; F lần lượt là trung điểm của AC; BC

$\Rightarrow EF$ là đường trung bình của  $\Delta ABC$

 $\Rightarrow EF//AB\Rightarrow \left(\widehat{AB,DE}\right)=\left(\widehat{EF,DE}\right).$

Ta có  $AB\perp \left(BCD\right)\Rightarrow EF\perp \left(BCD\right)\Rightarrow EF\perp FD$ (vì  $FD\subset \left(BCD\right)$)

 $\Rightarrow \Delta EFD$ vuông tại F do đó  $\left(\widehat{EF,DE}\right)=\widehat{FED}.$

Lại có $\left\{\begin{array}{l}CD\perp BC\\ CD\perp AB\end{array}\Rightarrow CD\perp \left(ABC\right)\Rightarrow CD\perp AC\right.$ hay  $\Delta ACD$ vuông tại C.

Xét tam giác vuông ECD có

$ED=\sqrt{E{C}^2+C{D}^2}=\sqrt{{\left(\frac{AC}{2}\right)}^2+C{D}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2+a^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\text{.}$

Xét  $\Delta EFD$ vuông có  $\cos \widehat{FED}=\frac{EF}{ED}=\frac{AB}{2ED}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{FED}=60°.$

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và DE bằng 60°.

Chọn D