Cho tam giác T1 có diện tích bằng 1. Giả sử có tam giác T2 đồng dạng với tam giác T1, tam giác

Bài 43 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tam giác T₁ có diện tích bằng 1. Giả sử có tam giác T₂ đồng dạng với tam giác T₁, tam giác T₃ đồng dạng với tam giác T₂, ..., tam giác T_n đồng dạng với tam giác T_{n – 1} với tỉ số đồng dạng $\frac{1}{k}\left(k>1\right)$ . Khi n tiến tới vô cùng, tính tổng diện tích của tất cả các tam giác theo k.

Trả lời

Gọi diện tích các tam giác T₁; T₂; ...; T_{­n – 1}; T_n lần lượt là S₁; S₂; ...; S_{n – 1}; S_n.

Vì tam giác T_n đồng dạng với tam giác T_{n – 1} với tỉ số đồng dạng $\frac{1}{k}$  nên diện tích tam giác T_n bằng $\frac{1}{k^2}$  diện tích tam giác T_{n – 1} hay $S_n=\frac{1}{k^2}{S}_{n-1}$ .

Vì k > 1 nên $\frac{1}{k^2}<1$ . Vậy S₁; S₂; ...; S_{n – 1}; S_n; ... lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu S₁ = 1 và công bội $q=\frac{1}{k^2}$ .

Khi đó, tổng diện tích của tất cả các tam giác nếu n tiến tới vô cùng là:

S = S₁ + S₂ + ... + S_{n – 1} + S_n + ... = $\frac{1}{1-\frac{1}{k^2}}=\frac{k^2}{k^2-1}$ .