Cho tam giác OPQ cân tại O có I là trung điểm của PQ. Kẻ IM // OQ

Đề bài: Cho tam giác OPQ cân tại O có I là trung điểm của PQ. Kẻ IM // OQ.

(M ∈ OP), IN // OP (N ∈ OQ). Chứng minh rằng:

1) Tam giác IMN cân tại I.

2) OI là đường trung trực của MN.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

1) Xét ∆OPQ có I là trung điểm của PQ và IN // OP.

Do đó N là trung điểm của OQ (*).

Xét ∆OPQ có I là trung điểm của PQ, IM // OQ.

Do đó M là trung điểm của OP (**).

Từ (*) và (**) suy ra MN là đường trung bình của OPQ suy ra MP = NQ.

Xét ∆MPI và ∆NQI có 

MP = NQ (cmt)

$\widehat{P}=\widehat{Q}$ (gt)

PI = QI (gt)

Do đó ∆MPI = ∆NQI

Suy ra: IM = IN hay ∆IMN cân tại I.

2) Ta có: OM = ON nên O nằm trên đường trung trực của MN (1)

Ta có: IM = IN nên suy I nằm trên đường trung trực của MN (2)

Từ (1) và (2) suy ra OI là đường trung trực của MN.