Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Qua B kẻ tia Bx vuông góc với AB.
381
01/11/2023
Bài 19 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AM,BN,CP cắt nhau tại H. Qua B kẻ tia Bx vuông góc với AB. Qua C kẻ tia Cy vuông góc với AC. Gọi D là giao điểm của Bx và Cy (Hình 15)
a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành;
b) Tam giác ABC có điều kiện gì thi ba điểm A,D,H thẳng hàng?
c) Tìm mối liên hệ giữa góc A và góc D của tứ giác ABCD.
d) Giả sử H là trung điểm của AM. Chứng minh diện tích của tam giác ABC bằng diện tích của tứ giác BHCD.
![Sách bài tập Toán 8 Bài 4 (Cánh diều): Hình bình hành (ảnh 4)](https://tailieumoi.vn/storage/uploads/images/1/1-36-1693898934.png)
Trả lời
a) Ta có: ^APC=^ABD=90∘ và ^APC,^ABD nằm ở vị trí đồng vị nên CP//BD.
Tương tự ta chứng minh được BN//CD.
Tứ giác BDCH có BD//CH,BH//CD nên BDCH là hình bình hành.
b) Để ba điểm A,D,H thẳng hàng thì M phải thuộc DH. Mà M thuộc BC, suy ra M là giao điểm của BC và DH.
Do BDCH là hình bình hành nên hai đường chéo BC và DH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. suy ra M là trung điểm BC.
Khi đó ΔABM=ΔACM (c.g.c). Suy ra AB=AC.
Dễ thấy nếu tam giác ABC có AB=AC thì ba điểm A,D,H thẳng hàng.
Vậy tam giác ABC cân tại A thì A,D,H thẳng hàng.
c) Xét tứ giác ABCD, ta có: ^BAC+^DBA+^CDB+^ACD=360∘.
Mà ^DBA=^ACD=90∘, suy ra tính được ^BAC+^CDB=3180∘
Vậy góc A và góc Dcủa tứ giác ABCD là hai góc bù nhau.
d) Do H là trung điểm của AM nên HM=12AM
Ta có diện tích tam giác ABC bằng: 12.AM.BC=HM.BC.
Ta chứng minh được ΔBCH=ΔCBD (c.c.c.). Suy ra diện tích tứ giác BHCD bằng 2 lần diện tích tam giác BCH.
Do đó, diện tích tứ giác BHCD bằng: (12.HM.BC=HM.BC) vạy diện tích tam giác ABC bằng điệnt tích của tứ giác BHCD.
Xem thêm các bài giải SBT Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 2: Tứ giác
Bài 3: Hình thang cân
Bài 4: Hình bình hành
Bài 5: Hình chữ nhật
Bài 6: Hình thoi
Bài 7: Hình vuông