Cho tam giác đều ABC cạnh a, M là trung điểm BC. Tính độ dài

Đề bài: Cho tam giác đều ABC cạnh a, M là trung điểm BC. Tính độ dài $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$ .

Trả lời

Hướng dẫn giải:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AC} \\ =\overrightarrow{AM}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AC} \end{gathered}$$

$=\overrightarrow{AE}$ (hình vẽ)

⇒ $\left|\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\right|=AE$

$AE=\sqrt{A{M}^2+{\left(\frac{3}{2}AC\right)}^2+2AM.\frac{3}{2}AC.\cos 30°}$

$=\sqrt{\frac{3a^2}{4}+\frac{9}{4}{a}^2+\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2\mathrm{.3.}\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{21}}{2}a$

⇒ $\left|\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\right|=\frac{\sqrt{21}}{2}a$ .