Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Gọi I, J là trung điểm của AH và HC

Đề bài: Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Gọi I, J là trung điểm của AH và HC. Chứng minh rằng: BI ⊥ AJ.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow{\text{AJ}}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AC}\right);\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BH}\right)$

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AJ}.\overrightarrow{BI}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BH}\right)=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BH}\right) \\ =\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HA}+0+0+\overrightarrow{HC}.\overrightarrow{BH}\right)=\frac{1}{4}\left(-A{H}^2+BH.HC\right) \end{gathered}$$

Vì ∆ABC vuông tại A nên: $A{H}^2=HB.HC$

Do đó: $\overrightarrow{AJ}.\overrightarrow{BI}=0\iff AJ\perp BI$ .