Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA

Bài tập 9 trang 82 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Từ M kẻ đường thẳng song song với BP, đường thẳng này cắt NP tại K.

a) Tứ giác AMNP là hình gì?

b) Chứng minh tứ giác BMKP là hình bình hành.

c) Chứng minh tứ giác ANCK là hình thoi.

d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ANCK là hình vuông.

Trả lời

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{BAC}=90°$.

Vì P, N lần lượt là trung điểm của AC, BC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra PN // AB.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MN // AC.

Xét tứ giác AMNP có:

NP // AM (do PN // AB),

NM // AP (do MN // AC).

Do đó, tứ giác AMNP là hình bình hành.

Mà $\widehat{PAM}=90°$ (do $\widehat{BAC}=90°$) nên tứ giác AMNP là hình chữ nhật.

b) Tứ giác BMKP có:

BM // KP (do PN // AB),

BP // KM (gt).

Nên tứ giác BMKP là hình bình hành.

c) Ta có $PN=\frac{1}{2}AB=AM=MB$ (do PN là đường trung bình của tam giác ABC và M là trung điểm của AB).

Vì tứ giác BMKP là hình bình hành nên KP = MB.

Do đó, KP = PN. Suy ra P là trung điểm của KN.

Vì PN song song với AB (cmt) mà AB vuông góc với AC nên KN vuông góc với AC tại P.

Tứ giác ANCK có hai đường chéo AC và KN cắt nhau tại trung điểm P của mỗi đường nên ANCK là hình bình hành.

Mà KN vuông góc với AC tại P.

Do đó, tứ giác ANCK là hình thoi.

d) Để hình thoi ANCK là hình vuông thì AC = KN.

Mà KN = 2PN = $2\cdot \frac{1}{2}AB$ = AB.

Do đó, AC = AB. Mà tam giác ABC vuông tại A. Do đó, tam giác ABC vuông cân tại A.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: