Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt góc hạ từ H xuống AB, AC và M là trung điểm của BC

Bài tập 10 trang 82 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt góc hạ từ H xuống AB, AC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

a) EF = AH.

b) AM ⊥ EF.

Trả lời

a)Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{BAC}=90°$.

Vì E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AC nên HE vuông góc với AB, HF vuông góc với AC.

Do đó, $\widehat{HEB}=\widehat{HEA}=\widehat{HFA}=\widehat{HFC}=90°$.

Xét tứ giác AFHE có: $\widehat{BAC}=\widehat{HEA}=\widehat{HFA}=90°$.

Do đó, tứ giác AFHE là hình chữ nhật.

Suy ra AH = FE (hai đường chéo bằng nhau).

b) Vì tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên $\widehat{FHE}=90°$.

Vì AM là đường trung tuyến trong tam giác ABC vuông tại A nên

AM = MB = MC = $\frac{1}{2}BC$.

Tam giác AMB có AM = MB nên tam giác AMB cân tại M.

Do đó, $\widehat{MAB}=\widehat{B}$.

Lại có $\widehat{B}=\widehat{AHE}\left(=90°-\widehat{HEB}\right)$.

Nên $\widehat{MAB}=\widehat{AHE}$ (1).

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo FE và AH của hình chữ nhật AFHE.

Do đó, OH = OE = OF = OA.

Tam giác OAE có OA = OE nên tam giác OAE cân tại O.

Suy ra $\widehat{OEA}=\widehat{OAE}$.

Mà AE song song với FH (do AFHE là hình chữ nhật) nên $\widehat{OHF}=\widehat{OAE}$ (hai góc so le trong).

Do đó, $\widehat{OEA}=\widehat{OHF}$ (2).

Lại có $\widehat{OHF}+\widehat{OHE}=\widehat{FHE}=90°$ (3).

Từ (1), (2), (3) ta có: $\widehat{MAB}+\widehat{OEA}=90°$.

Gọi K là giao điểm của AM và EF. Khi đó, $\widehat{KAE}+\widehat{KEA}=90°$. Suy ra$\widehat{AKE}=90°$.

Vậy AM vuông góc với EF tại K.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: