Cho tam giác ABC. Giả sử M là điểm trên cạnh AB sao cho MB/MA = 1/3, N là điểm trên cạnh BC sao cho NB/NC = 1/3
324
05/12/2023
Bài tập 11 trang 82 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC. Giả sử M là điểm trên cạnh AB sao cho MBMA=13, N là điểm trên cạnh BC sao cho NBNC=13.
a) Chứng minh MN // AC và MN = 14AC.
b) Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh KNKA=KMKC=14.
c) Nếu thay điều kiện MBMA=13 và NBNC=13bằng điều kiện CM là phân giác của góc C, AN là phân giác của góc A thì tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để MN // AC?
Trả lời

a) Xét tam giác ABC có:
MBMA=NBNC (=13)
Nên MN // AC (định lí Thalès đảo).
Vì MBMA=13 nên MA = 3MB.
Tam giác ABC có MN // AC nên MNAC=BMAB=BMBM+MA=BM4BM=14.
Suy ra MN = 14AC.
b) Tam giác MNK có MN // AC nên KNKA=KMKC=MNAC=14.
c) Nếu MN // AC thì MBMA=NBNC (định lí Thalès) (1).
Vì CM là tia phân giác của góc BCA trong tam giác ABC nên MBMA=BCAC (2).
Vì AN là tia phân giác của góc BAC trong tam giác ABC nên NBNC=ABAC (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra ABAC=BCAC nên AB = BC.
Do đó, tam giác ABC cân tại B.
Ngược lại, nếu tam giác ABC cân tại B, CM là phân giác của góc C, AN là phân giác góc A thì dễ thấy MN // AC.
Vậy để MN // AC thì điều kiện là tam giác ABC cân tại B.
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: