Cho $∆$ABC vuông tại A; đường phân giác BE. Kẻ EH $\perp$ BC (H ∈ BC). Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng:

a) ΔABE = ΔHBE.

b) BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.

c) EK = EC.    

d) AE < EC.

a) Xét $\Delta ABE$ và $\Delta HBE$ ta có :

BE là cạnh chung

$\widehat{{\text{B}}_{\text{1}}}\text{ =}\widehat{{\text{ B}}_{\text{2}}}$

Do đó $\text{ΔABE = ΔHBE}$(cạnh huyền – góc nhọn).

b) Vì  $\text{ΔABE = Δ HBE}$ (chứng minh trên)

Suy ra BA = BH, EA = EH (các cặp cạnh tương ứng)

$\Rightarrow$ EB là đường trung trực của AH.

c) Xét $\Delta AEK$ và $\Delta HEC$ ta có:

AE = EH (chứng minh trên)

$\widehat{{\text{E}}_{\text{1}}}\text{ = }\widehat{{\text{E}}_{\text{2}}}$ (hai góc đối đỉnh).

$\widehat{\text{KAE}}\text{ = }\widehat{\text{CHE}}\text{ = 90°}$

Do đó $\Delta AEK=\Delta HEC$ (g.c.g).

Suy ra EK = EC (hai cạnh tương ứng).

d) $\Delta EHC$vuông tại H có EH < EC (do cạnh huyền là lớn nhất trong tam giác vuông).

Mà EH = AE (câu b) nên AE < EC.