Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HM vuông góc với AB, HN vuông góc với AC

Câu 33: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HM vuông góc với AB, HN vuông góc với AC. Chứng minh rằng tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC.

Trả lời

∆ABH vuông tại H có HM là đường cao: AH² = AM.AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)    (1)

∆ACH vuông tại H có HN là đường cao: AH² = AN.AC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)    (2)

Từ (1), (2), suy ra AM.AB = AN.AC.

Xét ∆AMN và ∆ABC, có:

$\widehat{BAC}=90°$;

$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$ (do AM.AB = AN.AC).

Vậy $\Delta AMN\backsim \Delta ABC$  (c.g.c).