Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 6 cm, AC = 8 cm.
a) Tính BC, BH, HC, AH .

b) Kẻ phân giác AD. Tính BD, DC.
c) Tính diên tích tam giác AHD.

Lời giải

a) Vì ∆ABC vuông tại A nên ta có:

BC² = AB² + AC²

Þ BC² = 6² + 8² = 100

Þ BC = 10 cm.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{6^2}}} + \frac{1}{{{8^2}}} = \frac{{25}}{{576}}\)

\[ \Rightarrow AH = \frac{{24}}{5} = 4,8\;(cm)\].

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

AB² = BA.BC

Û 6² = BH.10

\( \Leftrightarrow BH = \frac{{36}}{{10}} = 3,6\;(cm)\)

Þ HC = BC − BH = 10 − 3,6 = 6,4 (cm)

Vậy BC = 10 cm, BH = 3,6 cm, HC = 6,4 cm, AH = 4,8 cm.

b) Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{BD}}{3} = \frac{{CD}}{4} = \frac{{BD + CD}}{{3 + 4}} = \frac{{BC}}{7} = \frac{{10}}{7}\)

\( \Rightarrow BD = \frac{{10}}{7}\,.\,3 = \frac{{30}}{7}\;(cm)\) và \(CD = \frac{{10}}{7}\,.\,4 = \frac{{40}}{7}\;(cm)\).

c) \[HD = BD - BH = \frac{{30}}{7} - 3,6 = \frac{{24}}{{35}}\;\,\,(cm)\].

Diện tích tam giác AHD là:

\[{S_{AHD}} = \frac{1}{2}AH\,.\,HD = \frac{1}{2}\,.\,4,8\,.\,\frac{{24}}{{35}} = \frac{{288}}{{175}}\;\,\,\left( {c{m^2}} \right)\].