Lời giải
a) Xét DABC vuông tại A có: \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat B = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
Vì M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC nên MN là đường trung bình của DABC.
Suy ra MN // AB nên \(\widehat {NMC} = \widehat B = 60^\circ \).
b) Ta có: E là điểm đối xứng với M qua N nên N là trung điểm của ME.
Lại có N là trung điểm của AC
Do đó tứ giác AECM có hai đường chéo AC, ME cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường nên là hình bình hành.
Mặt khác MN // AB và AB ⊥ AC nên MN ⊥ AC tại N.
Khi đó hình bình hành AECM có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường
Suy ra hình bình hành AECM là hình thoi.
c) • Ta có E, D đối xứng qua BC
Suy ra CE = CD nên DECD cân tại C
Khi đó đường cao CM đồng thời là đường phân giác của DECD
Suy ra \[\widehat {BCD} = \widehat {BCE}\]
Vì AECM là hình thoi nên CA là tia phân giác của góc ECM
Do đó \[\widehat {BCE} = 2.\widehat {ACB} = 60^\circ \].
Khi đó \[\widehat {BCD} = 60^\circ \].
Ta có \[\widehat {ACD} = \widehat {ACB} + \widehat {BCD} = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ \].
Hay CD ⊥ AC.
Mà AB ⊥ AC nên AB // DC.
• Mặt khác, DABC vuông tại A, có đường trung tuyến AM nên \(AM = \frac{1}{2}BC\).
DABC vuông tại A, có \(\widehat B = 60^\circ \) nên \(AB = \frac{1}{2}BC\).
Do đó AM = AB.
Lại có AECM là hình thoi nên AM = CE.
Khi đó: AB = AM = CE = CD.
• Xét tứ giác ABDC có AB // CD và AB = CD nên là hình bình hành.
Lại có \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) nên ABDC là hình chữ nhật.
d) Do ABDC là hình chữ nhật nên hai đường chéo AD và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà M là trung điểm của BC
Do đó M là trung điểm của AD hay A, M, D thẳng hàng.
Để tứ giác AECM là hình vuông thì AD ⊥ BC tại M
Điều này xảy ra khi và chỉ khi DABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao, tức là ΔABC vuông cân tại A.
