Lời giải
Lấy I là giao của Ax và BF.
a) AI là tia phân giác của góc BAF và AI cũng là đường cao của tam giác BAF nên
∆BAF cân tại A nên AB = AF.
Mà \(\widehat {BAF} = 90^\circ \).
Khi đó ABEF là hình vuông.
Vậy ABEF có bốn cạnh bằng nhau.
b) Ta có: BE = AF = BA.
Mà AC = 2BA nên AC = 2AF Þ FC = AF = BE.
Lại có BE // AF Þ BE // FC.
Vậy BECF là hình bình hành.
c) Vì tứ giác ABEF là hình vuông nên I là trung điểm AE.
Xét tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến
Suy ra AM = MB = MC (tính chất trung tuyến tam giác vuông)
Þ Tam giác AMC cân tại M
\( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {MCA}\)
Mà \(\widehat {MCA} = \widehat {BAH}\) (cùng phụ \(\widehat {ABC}\))
\( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {BAH}\)
• Xét ∆ABP và ∆AFQ có:
AB = AF
\(\widehat {BAP} = \widehat {FAQ}\)
\(\widehat {ABP} = \widehat {AFQ}\) (do ∆ABF cân tại A)
Do đó ∆ABP = ∆AFQ (g.c.g)
Suy ra AP = AQ (hai cạnh tương ứng).
Suy ra ∆APQ cân tại A, có AI là đường cao nên AI đồng thời là trung tuyến.
Do đó I là trung điểm PQ.
• Xét tứ giác APEQ có: I là trung điểm AE và PQ.
Suy ra tứ giác APEQ là hình bình hành.
Lại có AE vuông góc PQ.
Vậy tứ giác APEQ là hình thoi.
