Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm.

a) Tính số đo góc B, góc C (làm tròn đến độ) và đường cao AH.

b) Chứng minh rằng AB. cos B + AC . cosC = BC.

c) Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho DC = 2DA. Vẽ DE vuông góc với BC tại E. Chứng minh rằng \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{4}{{9D{E^2}}}\).

Lời giải

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên AB² + AC² = BC² (định lí Pytago)

Hay 6² + 8² = BC², suy ra BC = 10 (cm).

Xét tam giác ABC có \[\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5}\], suy ra \(\widehat B \approx 53^\circ \)

Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra \(\widehat C = 90^\circ - \widehat B \approx 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ \)

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

Suy ra AH . BC = AB . AC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Hay AH . 10 = 6 . 8

Suy ra AH = 4,8 cm.

b) Vì tam giác ABH vuông tại H nên BH = AB . cosB

Vì tam giác ACH vuông tại H nên CH = AC . cosC

Ta có BC = CH + BH = AC . cosC + AB . cosB.

c) Xét tam giác ABC vuông tại A có AH ⊥ BC

Suy ra \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)                     (1)

Ta có AH ⊥ BC, DE ⊥ BC nên AH // DE (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Suy ra \(\frac{{DE}}{{AH}} = \frac{{C{\rm{D}}}}{{AC}} = \frac{2}{3}\) (vì CD = 2AD)

Suy ra \(\frac{{D{E^2}}}{{A{H^2}}} = \frac{4}{9}\)

Do đó \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{4}{{9D{E^2}}}\)                        (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{4}{{9D{E^2}}}\)