Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3cm; AC = 4cm, đường cao AH

Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3cm; AC = 4cm, đường cao AH.
a) Tính BC,AH;
b) Vẽ (A:AH), vẽ HI vuông góc với AC, HI cắt (A) tại M. Chứng minh: CM là tiếp tuyến của (A);
c) Vẽ đường kính MG của (A). Chứng minh BG là tiếp tuyến của (A)

Trả lời

Hướng dẫn giải:

a) Áp dụng định lí Pytago vào  vuông tại A, ta được:

$$\begin{gathered} B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2 \\ \iff B{C}^2=3^2+4^2=25 \end{gathered}$$

hay BC = 5(cm)

Xét $\Delta ABC$ vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

$$\begin{gathered} AH\cdot BC=AB\cdot AC \\ \iff AH\cdot 5=3\cdot 4=12 \end{gathered}$$

hay AH = 2,4(cm)

Vậy: BC = 5cm; AH = 2,4cm

b) Xét (A) có 

AI là một phần đường kính

MH là dây

$AI\perp MH$ tại I(gt)

Do đó: I là trung điểm của MH(Định lí đường kính vuông góc với dây)

Xét $\Delta CMI$ vuông tại I và $\Delta CHI$ vuông tại I có 

CI chung

IM = IH(I là trung điểm của MH)

Do đó: $\Delta CMI=\Delta CHI$ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra: CM = CH(hai cạnh tương ứng)

Xét $\Delta CMA$ và $\Delta CHA$ có 

CM = CH(cmt)

CA chung

AM = AH( = R)

Do đó: $\Delta CMA=\Delta CHA\left(c-c-c\right)$

Suy ra: $\widehat{CMA}=\widehat{CHA}$ (Hai góc tương ứng)

mà $\widehat{CHA}={90}^0$ (gt)

nên  $\widehat{CMA}={90}^0$

hay CM là tiếp tuyến của (A)