Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) đường cao AH

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) đường cao AH

1) Giả sử AB = 9cm, AC = 12cm. Tỉnh độ dài các đoạn thẳng BC, BH và AH.

2) Gọi M và N lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm H đến các đường thẳng AB và AC. Chứng minh AM.AB = AN.AC.

3) Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường MN cắt đường thẳng đi qua điểm C và song song với đường AH tại điểm K. Gọi I là giao điểm của AH và BK. Chứng minh ba điểm M, L, N là ba điểm thẳng hàng.

Trả lời

1) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=15$

ΔABC vuông tại A, AH ⊥ BC nên AH.BC = AB.AC

Suy ra: $AH=\frac{AB.AC}{BC}=7,2$

$BH=\sqrt{A{B}^2-A{H}^2}=5,4$

2) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB, AHC có:

AH² = AM.AB

AH² = AN.AC

Suy ra: AM.AB = AN.AC

3) Gọi AB ∩ CK = D

Vì HM ⊥ AB, HN ⊥ AC, AB ⊥ AC

⇒ AMHN là hình chữ nhật

MN // AK, KC // AH

⇒ $\widehat{KCA}=\widehat{CAH}=\widehat{HAN}=\widehat{ANM}=\widehat{CAK}$

⇒ ΔKAC cân tại K

⇒ AK = KC

Ta có: AB ⊥ AC⇒ AD ⊥ AC

⇒$\widehat{KAD}={90}^{\circ }-\widehat{KAC}={90}^{\circ }\mathrm{ }-\widehat{KCA}=\widehat{D}$

⇒ΔKAD cân tại K

⇒ AK = KD

⇒ KD = KC

Ta có: AH // CD (⊥BC)

⇒ $\frac{AI}{KD}=\frac{BI}{BK}=\frac{IH}{KC}$

⇒ IA = IH

⇒ I là trung điểm AH

Mà AMHN là hình chữ nhật

⇒ AH ∩ MN tại trung điểm mỗi đường
⇒ I là trung điểm MN

⇒ M, I, N thẳng hàng