Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AB (D thuộc AB), kẻ HE vuông góc với AC (E thuộc AC).

a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

b) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng HC. Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng AC // HK.

c) Chứng minh tứ giác DECK là hình thang cân.

d) Gọi O là giao điểm của DE và AH. Gọi M là giao điểm của AI và CO. Chứng minh \(AM = \frac{1}{3}AK\).

Lời giải

a) Tứ giác ADHE, có:

\[\widehat {DAE} = 90^\circ \] (do tam giác ABC vuông tại A);

\[\widehat {ADH} = 90^\circ \] (do HD ⊥ AB tại D);

\[\widehat {AEH} = 90^\circ \] (do HE ⊥ AC tại E).

Vậy tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

b) Ta có K là điểm đối xứng của A qua I (giả thiết).

Suy ra I là trung điểm của AK.

Mà I cũng là trung điểm của HC (giả thiết).

Do đó tứ giác AHKC là hình bình hành.

Vậy AC // HK.

c) Xét ∆DHE và ∆AEH, có:

HE chung;

\(\widehat {DHE} = \widehat {AEH} = 90^\circ \);

DH = AE (ADHE là hình chữ nhật).

Do đó ∆DHE = ∆AEH (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {HDE} = \widehat {HAE}\) (cặp cạnh tương ứng).

Mà \(\widehat {HKC} = \widehat {HAC}\) (do tứ giác AHKC là hình bình hành).

Do đó \(\widehat {HDE} = \widehat {HKC}\).

Mà AC // DK (chứng minh trên).

Vậy tứ giác DECK là hình thang cân.

d) Tam giác ACH có các đường trung tuyến AI, CO cắt nhau tại M.

Suy ra M là trọng tâm của tam giác ACH.

Do đó \(AM = \frac{2}{3}AI\).

Mà \(AI = \frac{1}{2}AK\) (do I là trung điểm AK).

Suy ra \(AM = \frac{2}{3}AI = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}AK = \frac{1}{3}AK\).

Vậy \(AM = \frac{1}{3}AK\).