Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, AC = b

Đề bài: Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, AC = b. G là trọng tâm. Chứng minh:GA² + GB² + GC² = $\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)$

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Gọi M là trung điểm BC, ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}\right)=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\\ \Rightarrow A{G}^2=\frac{1}{9}\left(A{B}^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+A{C}^2\right)=\frac{1}{9}\left(b^2+2bc.\cos A+c^2\right)\\ =\frac{1}{9}\left(b^2+2bc.\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+c^2\right)=\frac{1}{9}\left(2b^2+2c^2-a^2\right)\end{array}$

Tương tự, ta có:

$G{B}^2=\frac{1}{9}\left(2a^2+2c^2-b^2\right);G{C}^2=\frac{1}{9}\left(2a^2+2b^2-c^2\right)$

Do đó,  GA² + GB² + GC² = $\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)$