Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Chứng minh rằng: AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + BC^2/2

Đề bài: Cho ∆ABC, trung tuyến AM. Chứng minh rằng: $A{B}^2+A{C}^2=2A{M}^2+\frac{B{C}^2}{2}$.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC)

Ta có: $A{B}^2+A{C}^2=A{H}^2+B{H}^2+A{H}^2+H{C}^2$

$$\begin{gathered} =2A{H}^2+{\left(MB-MH\right)}^2+{\left(MC+MH\right)}^2 \\ =2A{H}^2+M{B}^2+M{H}^2-2MB.MH+M{C}^2+M{H}^2+2MC.MH \end{gathered}$$

$=2\left(A{H}^2+M{H}^2\right)+2M{B}^2$ (vì MB = MC)

$=2A{M}^2+2\frac{B{C}^2}{4}=2A{M}^2+\frac{B{C}^2}{2}$ (ĐPCM)

Vậy $A{B}^2+A{C}^2=2A{M}^2+\frac{B{C}^2}{2}$ .