Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho vecto MA + 2vecto MB + 3 vecto MC = vecto 0
Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \vec 0\).
Lời giải
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, AC.
Gọi K là trọng tâm của tam giác JBC.
Theo đề, ta có \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \vec 0\).
\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right)\left( {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right) = \vec 0\)
\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} + 2\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right) = \vec 0\)
\[ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} \left( {2\overrightarrow {MJ} + 2\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right) = \vec 0\]
\[ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right) = \vec 0\]
\[ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MI} .3\overrightarrow {MK} = \vec 0\]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {MI} .\overrightarrow {MK} = \vec 0\]
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MI} \bot \overrightarrow {MK} \)
\( \Leftrightarrow \widehat {IMK} = 90^\circ \).
Khi đó ta thấy điểm M luôn nhìn đoạn IK một góc 90°.
Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn đường kính IK.