Cho tam giác ABC thỏa mãn: (acosA + bcosB + ccosC) / (a + b + c) = 1/2

Đề bài: Cho tam giác ABC thỏa mãn: $\frac{a.\cos A+b.\cos B+c.\cos C}{a+b+c}=\frac{1}{2}$ (A, B, C là các góc của tam giác a = BC, b = CA, c = AB). Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l}\frac{a.\cos A+b.\cos B+c.\cos C}{a+b+c}=\frac{1}{2}\iff \sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=\sin A+\sin B+\sin C\\ \iff \sin A.\sin B.\sin C=cos\frac{A}{2}.cos\frac{B}{2}.cos\frac{C}{2}\\ \iff 8\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}=1\\ \iff 4\sin \frac{A}{2}\left(cos\frac{B-C}{2}-cos\frac{B+C}{2}\right)=1\iff 4{\sin }^2\frac{A}{2}-4cos\frac{B-C}{2}.\sin \frac{A}{2}+1=0\\ \iff {\left(2\sin \frac{A}{2}-cos\frac{B-C}{2}\right)}^2+1-co{s}^2\frac{B-C}{2}=0\\ \iff \left\{\begin{array}{l}cos\frac{B-C}{2}=1\\ \sin \frac{A}{2}=\frac{1}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}B=C\\ A=\frac{\pi }{3}\end{array}\right.\end{array}$

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều (có hai góc ở đáy bằng nhau và 1 góc bằng 60^o)