Lời giải
a) Kẻ đường cao BG, CF của tam giác ABC
Vì H là trực tâm nên H là giao điểm của BG và CF
Vì tam giác ABD nội tiếp (O) đường kính AD
Nên tam giác ABD vuông tại B, suy ra AB ⊥ BD
Mà AB ⊥ CF, do đó BD // CF (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Vì tam giác ACD nội tiếp (O) đường kính AD
Nên tam giác ACD vuông tại C, suy ra AC ⊥ CD
Mà AC ⊥ BG, do đó BG // CD (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Xét tứ giác BHCD có
BD // CF (chứng minh trên);
BG // CD (chứng minh trên)
Suy ra BHCD là hình bình hành
Do đó \(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {H{\rm{D}}} \).
b) Xét hình bình hành BHCD có M là trung điểm BC
BC, HD là hai đường chéo
Suy ra M là trung điểm của HD
Xét tam giác AHD có O là trung điểm của AD, M là trung điểm của HD
Suy ra OM là đường trung bình
Do đó \(OM = \frac{1}{2}AH\)
Suy ra \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} \)
c) Ta có \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {HC} \)
\( = 2\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {DO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {HC} \)
\( = 2\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} = \overrightarrow {HH'} \)
Vậy \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HH'} \).
d) Xét (O) có △BCD’ và △BAD’ nội tiếp (O) đường kính BD’
Suy ra △BCD’ vuông tại A và △BAD’ vuông tại C
Khi đó AB ⊥ AD’ và BC ⊥ CD’
Ta có AB ⊥ CH, AB ⊥ AD’ nên CH // AD’ (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Ta có BC ⊥ AH, BC ⊥ CD’ nên AH // CD’ (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Xét tứ giác AHCD’ có
CH // AD’ và AH // CD’ (chứng minh trên)
Suy ra AHCD’ là hình bình hành
Do đó AH = D’C
Suy ra \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {D'C} \).
