Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC

Đề bài: Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng tứ giác MNPH là hình thang cân.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

M, N lần lượt là trung điểm AB, AC nên MN là đường trung bình của ABC ứng với cạnh BC

$\Rightarrow \text{MN // BC}$ hay $\text{MN // HP}$

$\Rightarrow$ MNPH là hình thang (∗)

Mặt khác:
Tam giác vuông ABH có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

$\text{HM = }\frac{\text{AB}}{\text{2}}\text{ = MB}$ (bổ đề quen thuộc)

$\Rightarrow$ MHB cân tại M

$\Rightarrow \widehat{\text{MHB}}\text{ = }\widehat{\text{MBH}}$

Mà $\widehat{\text{MBH}}\text{ = }\widehat{\text{NPC}}$ (hai góc đồng vị với NP // AB)

Hay $\widehat{\text{MHP}}\text{ = }\widehat{\text{NPH}}\text{(**)}$

Từ (∗); (∗∗)  MNPH là hình thang cân (đpcm)