Lời giải
a) Ta có P là điểm đối xứng với H qua M (giả thiết).
Suy ra M là trung điểm của PH.
Mà M cũng là trung điểm của AB (giả thiết).
Do đó tứ giác AHBP là hình bình hành (1)
\(\Delta \)ABH có: AH \( \bot \) BH và \(\widehat {ABH} = 45^\circ \).
Suy ra \(\Delta \)ABH vuông cân tại H.
Do đó AH = BH và \(\widehat {AHB} = 90^\circ \) (2)
Từ (1), (2) suy ra tứ giác AHBP là hình vuông.
b) \(\Delta \)ABK vuông tại K có KM là đường trung tuyến.
Suy ra MK = \(\frac{1}{2}\)AB.
Mà AB = HP (do AHBP là hình vuông).
Do đó MK = \(\frac{1}{2}\)HP.
Vậy HP = 2MK.
c) Ta có DQ // BC (giả thiết) và DH \( \bot \) BC (do AH là đường cao của \(\Delta \)ABC).
Suy ra DQ \( \bot \) DH hay \(\widehat {HDQ} = 90^\circ \) (3)
Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {HCQ} = 90^\circ \) (4)
Mà \(\widehat {DHC} = 90^\circ \) (do AH là đường cao của \(\Delta \)ABC) (5)
Từ (3), (4), (5) suy ra tứ giác DHCQ là hình chữ nhật.
Gọi F là giao điểm của CD và HQ.
Suy ra F là trung điểm của CD và HQ.
Do đó FD = FC = FQ = FH.
Ta có \(\Delta \)DKC vuông tại K. Suy ra KF = FD = FC = FQ = FH.
Khi đó \(\Delta \)HKQ vuông tại K.
Vì vậy HK \( \bot \) KQ.
Chứng minh tương tự, ta được HK ⊥ PK.
Ta có \(\widehat {PKH} + \widehat {HKQ} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).
Vậy ba điểm P, K, Q thẳng hàng.
d) Gọi E là giao điểm của CD và AB.
Xét ∆ABC có BK, AH là hai đường cao cắt nhau tại D.
Suy ra D là trực tâm của \(\Delta \)ABC.
Khi đó CD ⊥ AB tại E.
\(\Delta \)BCE có \(\widehat {BCE} = 180^\circ - \widehat {BEC} - \widehat {EBC} = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \)
Suy ra \(\widehat {DCQ} = \widehat {HCQ} - \widehat {HCD} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \)
Khi đó CD là tia phân giác của \(\widehat {HCQ}\).
Mà tứ giác HCQD là hình chữ nhật (chứng minh trên).
Vì vậy HCQD là hình vuông.
Xét tứ giác MHFE có:
• \(\widehat {HFD} = 90^\circ \) (HCQD là hình vuông);
• \(\widehat {MEF} = 90^\circ \) (FE ⊥ AB) và \(\widehat {EMH} = 90^\circ \) (AHBP là hình vuông).
Suy ra tứ giác MHFE là hình chữ nhật.
Khi đó EF = MH = \(\frac{1}{2}\)HP và EF // MH.
\(\Delta \)PHQ, có: EF // PH và F là trung điểm của HQ.
Suy ra EF đi qua trung điểm của cạnh PQ.
Mà EF = MH = \(\frac{1}{2}\)HP (chứng minh trên).
Suy ra E là trung điểm của PQ.
Khi đó ba điểm P, E, Q thẳng hàng.
Vậy các đường thẳng CD, AB và PQ đồng quy tại E.
