Cho tam giác ABC nhọn (AB > AC), có \(\widehat B = 45^\circ \) và vẽ đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AB. P là điểm đối xứng với H qua M.

a) Chứng minh rằng tứ giác AHBP là hình vuông.

b) Vẽ đường cao BK của tam giác ABC. Chứng minh rằng HP = 2MK.

c) Gọi D là giao điểm của AH và BK. Qua D và C vẽ các đường thẳng song song với BC và AH sao cho chúng cắt nhau tại Q. Chứng minh: ba điểm P, K, Q thẳng hàng.

d) Chứng minh các đường thẳng CD, AB và PQ đồng quy.

Lời giải

a) Ta có P là điểm đối xứng với H qua M (giả thiết).

Suy ra M là trung điểm của PH.

Mà M cũng là trung điểm của AB (giả thiết).

Do đó tứ giác AHBP là hình bình hành   (1)

∆ABH có: AH ⊥ BH và \(\widehat {ABH} = 45^\circ \).

Suy ra ∆ABH vuông cân tại H.

Do đó AH = BH và \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)   (2)

Từ (1), (2), ta được tứ giác AHBP là hình vuông.

b) ∆ABK vuông tại K có KM là đường trung tuyến.

Suy ra \(MK = \frac{1}{2}AB\).

Mà AB = HP (do AHBP là hình vuông).

Do đó \(MK = \frac{1}{2}HP\).

Vậy HP = 2MK.

c) Ta có DQ // BC (giả thiết) và DH ⊥ BC (do AH là đường cao của ∆ABC).

Suy ra DQ ⊥ DH hay \(\widehat {HDQ} = 90^\circ \)   (3)

Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {HCQ} = 90^\circ \)   (4)

Mà \(\widehat {DHC} = 90^\circ \) (do AH là đường cao của ∆ABC)   (5)

Từ (3), (4), (5), ta được tứ giác DHCQ là hình chữ nhật.

Gọi F là giao điểm của CD và HQ.

Suy ra F là trung điểm của CD và HQ.

Do đó FD = FC = FQ = FH.

Ta có ∆DKC vuông tại K. Suy ra KF = FD = FC = FQ = FH.

Khi đó ∆HKQ vuông tại K.

Vì vậy HK ⊥ KQ.

Chứng minh tương tự, ta được HK ⊥ PK.

Ta có \(\widehat {PKH} + \widehat {HKQ} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

Vậy ba điểm P, K, Q thẳng hàng.

d) Gọi E là giao điểm của CD và AB.

∆ABC có BK, AH là hai đường cao cắt nhau tại D.

Suy ra D là trực tâm của ∆ABC.

Khi đó CD ⊥ AB tại E.

∆BCE có \(\widehat {BCE} = 180^\circ - \widehat {BEC} - \widehat {EBC} = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).

Suy ra \(\widehat {DCQ} = \widehat {HCQ} - \widehat {HCD} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).

Khi đó CD là tia phân giác của \(\widehat {HCQ}\).

Mà tứ giác HCQD là hình chữ nhật (chứng minh trên).

Vì vậy HCQD là hình vuông.

Tứ giác MHFE có \(\widehat {HFD} = 90^\circ \) (HCQD là hình vuông); \(\widehat {MEF} = 90^\circ \) (FE ⊥ AB) và \(\widehat {EMH} = 90^\circ \) (AHBP là hình vuông).

Suy ra tứ giác MHFE là hình chữ nhật.

Khi đó \(EF = MH = \frac{1}{2}HP\) và EF // MH.

∆PHQ, có: EF // PH và F là trung điểm của HQ.

Suy ra EF đi qua trung điểm của cạnh PQ.

Mà \(EF = MH = \frac{1}{2}HP\) (chứng minh trên).

Suy ra E là trung điểm của PQ.

Khi đó ba điểm P, E, Q thẳng hàng.