Lời giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Khi đó \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)
Dựng hình bình hành ABCD ta có \(\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {C{\rm{D}}} \)
Ta có \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {C{\rm{D}}} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {M{\rm{D}}} \)
Khi đó \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 3\overrightarrow {MG} + 3\overrightarrow {M{\rm{D}}} \ge 3\overrightarrow {G{\rm{D}}} \)
(vì G và D nằm khác phía với đường thẳng AC)
Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của DG và AC
Hay M là trung điểm của AC
Mà ABCD là hình bình hành
Suy ra M là trung điểm của BD
Do đó MB = MD
Vì tam giác ABC đều có BM là trung tuyến
Nên BM là đường cao
Hay tam giác BCM vuông tại M
Suy ra \(BM = \sqrt {B{C^2} - C{M^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Suy ra \(DM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \[GM = \frac{1}{3}BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]
Ta có DG = DM + GM
Hay \[DG = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} + \frac{{a\sqrt 3 }}{6} = \frac{{2\sqrt 3 a}}{3}\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là \(2\sqrt 3 a\) khi M là trung điểm của AC.