Cho tam giác ABC, I là một điểm trong tam giác, IA, IB, IC theo thứ tự cắt BC, CA, AB ở M, N, P. Chứng minh rằng NA/NC + PA/PB = IA/IM
15
02/07/2024
Cho tam giác ABC, I là một điểm trong tam giác, IA, IB, IC theo thứ tự cắt BC, CA, AB ở M, N, P. Chứng minh rằng \(\frac{{NA}}{{NC}} + \frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{IA}}{{IM}}\).
Trả lời
Lời giải
Qua A kẻ đường thẳng song song với BC. Đường thẳng này cắt BN, CN lần lượt ở E và F.
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho AE // BC và FA // BC, ta được:
\(\frac{{NA}}{{NC}} = \frac{{EA}}{{BC}}\) (1);
\(\frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{AF}}{{BC}}\) (2).
Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2) suy ra: \(\frac{{NA}}{{NC}} + \frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{IA}}{{IM}}\).
