Lời giải
Ta có \(3\overrightarrow {MA} + 4\overrightarrow {MB} = \vec 0\)
\( \Leftrightarrow 3\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right) + 4\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right) = \vec 0\)
\( \Leftrightarrow 7\overrightarrow {MG} + 3\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} } \right) + \overrightarrow {GB} = \vec 0\)
\( \Leftrightarrow 7\overrightarrow {MG} + 3\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GB} = \vec 0\)
\( \Leftrightarrow 7\overrightarrow {MG} + 2\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {CB} = \vec 0\)
\( \Leftrightarrow 7\overrightarrow {MG} = 2\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {BC} \) (1)
Lại có \(\overrightarrow {NB} - 3\overrightarrow {NC} = \vec 0\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {NG} + \overrightarrow {GB} - 3\left( {\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {GC} } \right) = \vec 0\)
\( \Leftrightarrow - 2\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {GB} + 3\overrightarrow {CG} = \vec 0\)
\( \Leftrightarrow - 2\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {CB} + 2\overrightarrow {CG} = \vec 0\)
\( \Leftrightarrow - 2\overrightarrow {NG} = \overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {GC} \) (2)
Từ (1), (2), suy ra \(7\overrightarrow {MG} = - 2\overrightarrow {NG} \).
\( \Leftrightarrow 7\overrightarrow {GM} = - 2\overrightarrow {GN} \).
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GM} = \frac{{ - 2}}{7}\overrightarrow {GN} \).
Suy ra \(\overrightarrow {GM} ,\,\,\overrightarrow {GN} \) cùng phương.
Vậy ba điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm tam giác ABC.