Cho tam giác ABC, G là trọng tâm

Đề bài: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Chứng minh $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

Trả lời

Hướng dẫn giải:.

Gọi I là trung điểm của BC

Trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trung tuyến AI.

Do đó, A, G, I thẳng hàng.

Ta có: $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GI}$ (1)

Ta có: $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GI}\right)+\left(\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GI}\right)=\overrightarrow{0}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{GI}\\ \Rightarrow \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GI}\left(2\right)\end{array}$

Từ (1) và (2) ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{AG}\Rightarrow \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{0}\\ \Rightarrow \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{0}\end{array}$