Cho tam giác ABC đều. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AB, BC sao cho

Đề bài: Cho tam giác ABC đều. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AB, BC sao cho BM = BN. Gọi G là trọng tâm tam giác BMN và I là trung điểm của AN. Tính các góc của tam giác GIC.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Gọi E, D lần lượt là trung điểm AB, AC, ta có I, E, D thẳng hàng
MN cắt BD tại J, hạ CH vuông góc ED tại H

Có $DH=\frac{DC}{2}=\frac{ED}{2}\Rightarrow \frac{ED}{EH}=\frac{2}{3}$

Có $\frac{BG}{BD}=\frac{BG}{BJ}.\frac{BJ}{BD}=\frac{2}{3}.\frac{BN}{BC}=\frac{ED}{EH}.\frac{EI}{ED}$

$\Rightarrow \frac{BG}{BD}=\frac{EI}{EH}\iff \frac{BG}{EI}=\frac{BD}{EH}\left(1\right)$

Ta có △CBD ∼ △CEH (g, g)
$\Rightarrow \frac{CB}{CE}=\frac{BD}{EH}=\frac{BG}{EI}$
⇒ △CBG ∼△CEI (c, g, c) (2)

$\left(2\right)\Rightarrow \widehat{BCG}=\widehat{ECI}$

$\iff \widehat{BCG}+\widehat{GCE}=\widehat{GCE}+\widehat{ECI}$

$\iff \widehat{BCE}=\widehat{GCI}$

$\left(2\right)\Rightarrow \frac{BC}{EC}=\frac{GC}{IC}\left(4\right)$

từ (3, 4) → △BEC∼△GIC (c, g, c)

$\iff \widehat{I}=90°;\widehat{G}=60°$ (đpcm).